{"id":353,"date":"2014-09-08T14:48:47","date_gmt":"2014-09-08T13:48:47","guid":{"rendered":"http:\/\/ema.recherche.usherbrooke.ca\/?p=353"},"modified":"2014-11-22T02:17:05","modified_gmt":"2014-11-22T01:17:05","slug":"modelisation-par-matrices-de-transfert-dempilement-de-materiaux-acoustiques-en-parallele","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ema.recherche.usherbrooke.ca\/?p=353","title":{"rendered":"M\u00e9thode des matrices de transfert en parall\u00e8le"},"content":{"rendered":"

[toc]<\/p>\n

Introduction<\/h1>\n

La m\u00e9thode de matrice de transfert (TMM) est utilis\u00e9e classiquement pour pr\u00e9dire des propri\u00e9t\u00e9s acoustiques des couches homog\u00e8nes lat\u00e9ralement infinie assembl\u00e9es en s\u00e9rie pour former un empilement. Dans ce travail, un processus de montage en parall\u00e8le de matrices de transfert est mis en place afin de mod\u00e9liser des mat\u00e9riaux h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes tels que des patchworks, des mosa\u00efques acoustiques, ou une collection d’\u00e9l\u00e9ments acoustiques en parall\u00e8le. La matrice de transfert r\u00e9sultante de l’ensemble parall\u00e8le est \u00e9galement une matrice 2 par 2 qui peuvent \u00eatre assembl\u00e9s en s\u00e9rie avec la TMM classique. Dans ce document, il sera question de pr\u00e9senter les deux m\u00e9thodes.<\/p>\n

M\u00e9thode des matrices de transfert classique (en s\u00e9rie)<\/h1>\n

 <\/p>\n

\"schema_stmm\"

Figure 1. Sch\u00e9ma d’un empilement de 4 couches de mat\u00e9riaux<\/p><\/div>\n

Afin d’explique la m\u00e9thode des matrices de transfert classique, un exemple d’un empilement de quatre mat\u00e9riaux est pr\u00e9sent\u00e9 \u00e0 la Figure 1. Cette m\u00e9thode est dite\u00a0\u00ab\u00a0en s\u00e9rie\u00a0\u00bb dans la mesure o\u00f9 chaque mat\u00e9riaux est mis l’un derri\u00e8re l’autre vis-\u00e0-vis de la propagation de l’onde sonore.\u00a0Chaque couche est exprim\u00e9e par une matrice 2 par 2 reliant la pression et la vitesse de part et d’autre de celle-ci. Afin de simplifier l’expression de cette matrice, chaque couche est consid\u00e9r\u00e9e comme un\u00a0 fluide \u00e9quivalent avec une imp\u00e9dance caract\u00e9ristique [latex]Z_i[\/latex] et un nombre d’onde [latex]k_i[\/latex]. Ces deux propri\u00e9t\u00e9s sont donn\u00e9es par des mod\u00e8les (e.g. mod\u00e8le de Miki, mod\u00e8le de Johnson Champoux Allard) [zotpressInText item=\u00a0\u00bb{X6DJRB83}\u00a0\u00bb]. En supposant qu’il n y a que des ondes planes qui se propagent dans la couche d’\u00e9paisseur [latex]h_i[\/latex], l’expression de la matrice de transfert est donn\u00e9e par l’\u00e9quation 1.<\/p>\n

[latex]\\begin{equation}\\begin{pmatrix}p_1\\\\v_1\\end{pmatrix}=\\begin{bmatrix} cos(k_1h_1) & jZ_1sin(k_1h_1) \\\\ j\\frac{1}{Z_1}sin(k_1h_1) & cos(k_1h_1) \\end{bmatrix}\\begin{pmatrix}p_2\\\\v_2\\end{pmatrix}=T_1\\begin{pmatrix}p_2\\\\v_2\\end{pmatrix}\\end{equation} [\/latex]<\/p>\n

En faisant la continuit\u00e9 de la pression et de la vitesse entre chaque couche, une matrice globale [latex]T_G[\/latex] peut \u00eatre d\u00e9duite. L’\u00e9quation 2 fournit les infos n\u00e9cessaires au calcul de cette matrice.<\/p>\n

[latex]\\begin{equation}\\left.\\begin{matrix}\\begin{pmatrix}p_1\\\\v_1\\end{pmatrix}=T_1\\begin{pmatrix}p_2\\\\v_2\\end{pmatrix}\\\\\\begin{pmatrix}p_2\\\\v_2\\end{pmatrix}=T_2\\begin{pmatrix}p_3\\\\v_3\\end{pmatrix}\\\\\\begin{pmatrix}p_3\\\\v_3\\end{pmatrix}=T_3\\begin{pmatrix}p_4\\\\v_4\\end{pmatrix}\\\\\\begin{pmatrix}p_4\\\\v_4\\end{pmatrix}=T_4\\begin{pmatrix}p_5\\\\v_5\\end{pmatrix}\\end{matrix}\\right\\}\\begin{pmatrix}p_1\\\\v_1\\end{pmatrix}=T_1T_2T_3T_4\\begin{pmatrix}p_5\\\\v_5\\end{pmatrix}=T_G\\begin{pmatrix}p_5\\\\v_5\\end{pmatrix}\\end{equation}[\/latex]<\/p>\n

Pour finir, \u00e0 partir de cette matrice, les indicateurs acoustiques (coefficient d’absorption et perte par transmission) peuvent \u00eatre calcul\u00e9s.<\/p>\n

M\u00e9thode des matrices de transfert en parall\u00e8le<\/h1>\n
\"schema_ptmm\"<\/a>

Figure 2. Sch\u00e9ma d’un empilement parall\u00e8le de n<\/em> mat\u00e9riaux<\/p><\/div>\n

Cette m\u00e9thode a \u00e9t\u00e9 publi\u00e9e r\u00e9cemment [zotpressInText item=\u00a0\u00bb{2CVBAXXU}\u00a0\u00bb]. Au lieu d’empiler les couches l’une apr\u00e8s l’autre, il est question de trouver la matrice globale d’un empilement de mat\u00e9riaux (ou \u00e9l\u00e9ments)\u00a0l’un \u00e0 c\u00f4t\u00e9 de l’autre (parall\u00e8le \u00e0 la direction de propagation du son).<\/p>\n

Des hypoth\u00e8ses doivent \u00eatre pos\u00e9es :<\/p>\n

    \n
  1. il n’y a que des ondes planes qui se propagent dans l’empilement,<\/li>\n
  2. il n’y a que des ondes planes qui se propagent avant et apr\u00e8s l’empilement,<\/li>\n
  3. il n’y a pas d’\u00e9changes entre les \u00e9l\u00e9ments constitutifs (pas de diffusion),<\/li>\n
  4. la longueur d’onde est grande devant la taille caract\u00e9ristique de l’empilement,<\/li>\n
  5. chaque \u00e9l\u00e9ment est repr\u00e9sent\u00e9 par une matrice 2 par 2.<\/li>\n<\/ol>\n

    Chaque \u00e9l\u00e9ment est exprim\u00e9 par sa matrice [latex]T_i[\/latex]\u00a0(Equation 1). Afin de simplifier les calculs, cette matrice est transform\u00e9 en une autre matrice, appel\u00e9 matrice d’admittance. L’\u00e9quation 3 donne l’aper\u00e7ue de la dite matrice.<\/p>\n

    [latex]\\begin{equation}\\begin{pmatrix}P_i\\\\U_i\\end{pmatrix}=\\begin{bmatrix}T_{i,11}&T_{i,12}\\\\T_{i,21}&T_{i,22}\\end{bmatrix}\\begin{pmatrix}P_i’\\\\U_i’\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}U_i\\\\U_i’\\end{pmatrix}=\\begin{bmatrix}y_{i,11}&y_{i,12}\\\\y_{i,21}&y_{i,22}\\end{bmatrix}\\begin{pmatrix}P_i\\\\P_i’\\end{pmatrix}\\end{equation}[\/latex]<\/p>\n

    En utilisant la continuit\u00e9 de la pression et des d\u00e9bits de part et d’autre de l’empilement, une matrice globale [latex]T_p[\/latex] \u00a0peut \u00eatre exprim\u00e9e. L’\u00e9quation\u00a04 fournit les infos n\u00e9cessaires au calcul de cette matrice.<\/p>\n

    [latex]\\begin{equation}\\begin{pmatrix}P\\\\U\\end{pmatrix}=T_p\\begin{pmatrix}P’\\\\U’\\end{pmatrix}=\\frac{-1}{\\sum r_iy_{i,21}}\\begin{bmatrix} \\sum r_iy_{i,22} & -1 \\\\ \\sum r_iy_{i,22}\\sum r_iy_{i,11}-\\sum r_iy_{i,12}\\sum r_iy_{i,21} & -\\sum r_iy_{i,11}\\end{bmatrix}\\begin{pmatrix}P’\\\\U’\\end{pmatrix}\\end{equation}[\/latex]<\/p>\n

    Pour finir, \u00e0 partir de cette matrice, les indicateurs acoustiques (coefficient d’absorption et perte par transmission) peuvent \u00eatre calcul\u00e9s. Cette matrice peut \u00eatre \u00e9galement combin\u00e9e en s\u00e9rie avec d’autre matrice et ainsi cr\u00e9er des construction complexe.<\/p>\n

    D’autres \u00e9tudes ont \u00e9t\u00e9 publi\u00e9es :<\/p>\n